Question

已知函数.其中.

（1）若曲线y＝f(x)与y=g(x)在x＝1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;

（2）若f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立,求实数的值;

（3）当<0时，对于函数h(x)=f(x)－g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为,若,求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）2； （3）

【解析】

试题分析：（1）因为曲线y＝f(x)与y=g(x)在x＝1处的切线相互平行，所以分别对这两个函数求导，可得导函数在x=1处的斜率相等，即可求出的值以及求出两条切线方程.再根据平行间的距离公式求出两切线的距离.

（2） 由f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立，所以构造一个新的函数，在x>0时求出函数的最值符合条件即可得到的范围.

（3）根据（2）所得的结论当当<0时,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数，所以根据可以得到函数与变量的关系式，从而构造一个新的函数，得到的范围.

试题解析：（1）,依题意得: =2;

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0.两直线间的距离为

（2）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则

当≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减,又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾.

当>0时,

当,当时,

所以h(x)在上是增函数,在上是减函数,

∴h(x)≤

因为h(1)＝0,又当≠2时,≠1,与不符.所以＝2.

（3）当<0时,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)－h(x2)|＝h(x1)－h(x2),|x1－x2|＝x2－x1,

∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2|

等价于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2,令H(x)＝h(x)＋x＝lnx－x2＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,

∵ (x>0),∴－2x2＋x＋≤0在x>0时恒成立,∴≤(2x2－x)min又x>0时, (2x2－x)min=

∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是.

考点：1.导数的几何意义.2.含参数的不等式恒成立问题.3.函数方程间的等价变化转化为熟悉的问题从而解决问题.