Question

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）试判断f₁（x）=

x

-2及f₂（x）=4-6?（

1

2

）^x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）通过特例，判断f₁（x）不在集合A中，求出f₂（x）的值域，即可判断是否在集合A中．
（2）利用 （1）f₂（x）在集合A中，化简不等式f（x）+f（x+2）-2f（x+1）通过指数的性质，推出结论即可．

解答：解：（1）∵当x=49时f₁（49）=5∉[-2，4）
∴f₁（x）不在集合A中             （3分）
又∵f₂（x）的值域[-2，4），
∴f₂（x）∈[-2，4）
当x≥0时f₂（x）为增函数，
因为y=?（

1

2

）^x是减函数，所以f₂（x）=4-6?（

1

2

）^x（x≥0）是增函数，
∴f₂（x）在集合A中               （3分）
（2）∵f₂（x）+f₂（x+2）-2f₂（x+1）
=4-6(

1

2

)x+4-6(

1

2

)x+2-2[4-6(

1

2

)x+1]
=6[2(

1

2

)x+1-(

1

2

)x-(

1

2

)x+2]=-6(

1

2

)x+2＜0(x≥0)
∴f₂（x）对任意x≥0，不等式f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）总成立  （6分）

点评：本题是难度较大的题目，第一需要根据函数的值域、特殊值以及条件进行验证．第二题目给出一个抽象函数不等式要求学生检验两个已知函数式是否满足条件，进而验证这两个函数是否是集合的元素，运算量较大，其中用到基本不等式，这个过程不好配凑．