Question

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的，对于任意的x＞0  y＞0且x≠y都有f（x）+2f（y）＞3f(

x+2y

3

)
（1）试判断f₁（x）=log₂x及f₂（x）=（x+1）²是否在集合A中？并说明理由
（2）设f（x）∈A，且定义域是（0，+∞），值域是（1，2），f(1)＞

3

2

，写出一个满足上述条件的解析式；并证明此函数f（x）∈A．

Answer 1

分析：（1）集合A是由函数f（x）构成的，把f₁（x）=log₂x及f₂（x）=（x+1）²代入条件进行检验；
（2）从第一个结论的提示，从定义域值域和不等关系找出一个适合条件的解析式．

解答：解：
（I）取x=1，y=4则
f₁（1）+2 f₁（4）=log₂1+2log₂4=log₂16，
3f(

1+2×4

3

)=3log2  3=log227＞log₂16
∴f₁（x）+2 f₁（y）＜3f1(

x+2y

3

)
∴f₁（x）∉A
任取x＞0，y＞0且x≠y，研究
f₂（x）+2 f₂（y）-=（x+1）²+2（y+1）²-3(

x+2y

3

+1)2
=

2

3

(x-y)2＞0
∴f₂（x）+2 f₂（y）＞3f2(

x+2y

3

)．
∴f₂（x）∈A

（II）设函数f（x）=(

2

3

)x+1，x∈（0，+∞），满足其值域（1，2）
且f（1）＞

3

2

又任意取x＞0，y＞0且x≠y，则
f（x）+2 f （y）=(

2

3

)x+2(

2

3

)y+3
=(

2

3

)x+(

2

3

)y+(

2

3

)y+3＞3

3	( 2 3 )x+2y

+3=3[(

2

3

)

x+2y

3

]
=3f（

x+2y

3

）
∴f（x）∈A

点评：本题是一道难度较大的题，表现在以下几个方面第一需要自己根据条件写出解析式，再进行验证．第二题目给出一个抽象函数不等式要求学生检验两个已知函数式是否满足条件，进而验证这两个函数是否是集合的元素，运算量较大，其中用到基本不等式，这个过程不好配凑．