Question

（2012•杭州二模）正项等比数列{a_n}中，存在两项am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，且a₇=a₆+2a₅，则

1

m

+

5

n

的最小值是（　　）

• A．

  7

  4

• B．1+

  5

  3

• C．

  25

  6

• D．

  2 5

  3

Answer 1

分析：设正项等比数列的公式为q，已知等式a₇=a₆+2a₅两边除以a₅，利用等比数列的性质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出a_m与a_n，代入已知等式

aman

=4a₁，求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．

解答：解：∵正项等比数列{a_n}中，设公比为q，a₇=a₆+2a₅，
∴

a7

a5

=

a6

a5

+

2a5

a5

，即q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1（舍去），
∴a_m=a₁2^m-1，a_n=a₁2^n-1，
∵

aman

=4a₁，
∴a_ma_n=a₁²2^m+n-2=16a₁²，即m+n-2=4，
∴m+n=6，即

m+n

6

=1，
∴

1

m

+

5

n

=（

1

m

+

5

n

）•

m+n

6

=

1

6

+

5m

6n

+

n

6m

+

5

6

=1+

1

6

（

n

m

+

5m

n

）≥1+

1

6

×2

5

=1+

5

3

，
当且仅当

n

m

=

5m

n

时取等号，
则

1

m

+

5

n

的最小值为1+

5

3

．
故选B

点评：此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握通项公式是解本题的关键．