Question

已知点A（4，3）和圆C：（x-2）²+y²=4
（1）求圆C关于点A对称的圆C₁的标准方程；
（2）求过点A并且与圆C相切的直线方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可设，圆C关于点A对称的圆C₁的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=4则可得，（2，0）与（a，b）关于A（4，3）对称，可求a，b
（2）设所求的切线方程为y-3=k（x-4），然后根据直线与圆相切的 性质，可知圆心（2，0）到直线kx-y+3-4k=0的距离d=2可求k，进而可求切线方程

解答：解：（1）由题意可设，圆C关于点A对称的圆C₁的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=4
则可得，（2，0）与（a，b）关于A（4，3）对称
则

a+2 2 =4 b+0 2 =3

，解可得，a=6，b=6，所求的圆的方程为（x-6）²+（y-6）²=4
（2）设所求的切线方程为y-3=k（x-4）即kx-y+3-4k=0
由直线与圆相切的 性质，可知圆心（2，0）到直线kx-y+3-4k=0的距离d=

|2k+3-4k|

1+k2

=2
解可得，k=

5

12

即直线方程为5x-12y+16=0
而当直线为x=4时也与圆相切，
综上可得，所求的切线方程为5x-12y+16=0或x=4

点评：本题主要考查了两点关于点对称 性质的应用及直线与圆相切性质的应用，解（2）是一定要 注意有两条切线