Question

设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n），（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）记Tn=

f(n)•f(n+1)

2n

，试比较T_n与T_n+1的大小；若对于一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围；
（3）设S_n为数列b_n的前n项的和，其中b_n=2^f（n），问是否存在正整数n，t，使

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入综合求出f（n）的表达式；
（2）先利用上面的结论求出T_n的表达式，再对T_n与T_n+1的作商比较，从而求出T_n中的最大值，即可找到满足T_n≤m时对应的实数m的取值范围；
（3）先利用b_n=2^f（n）求出数列{b_n}的通项公式，进而求出S_n；把S_n代入

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，化简得

( 8 7 -t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n- 1 7

＜

1

2

，再分t=1以及t＞1求出其对应的n即可说明结论．

解答：解：（1）f（1）=3，f（2）=6（2分）
当x=1时，y取值为1，2，3，…，2n共有2n个格点
当x=2时，y取值为1，2，3，…，n共有n个格点
∴f（n）=n+2n=3n（4分）
（2）由Tn=

f(n)f(n+1)

2n

=

9n(n+1)

2n

则Tn+1=

f(n+1)f(n+2)

2n+1

=

9(n+1)(n+2)

2n+1

?

Tn+1

Tn

=

9(n+1)(n+2) 2n+1

9n(n+1) 2n

=

n+2

2n

（5分）
当n=1，2时，T_n+1≥T_n
当n≥3时，n+2＜2n?T_n+1＜T_n（6分）
∴n=1时，T₁=9n=2，3时，T2=T3=

27

2

n≥4时，T_n＜T₃
∴T_n中的最大值为T2=T3=

27

2

（8分）
要使T_n≤m对于一切的正整数n恒成立，
只需

27

2

≤m
∴m≥

27

2

（9分）
（3）bn=2f(n)=23n=8 n?Sn=

8(1-8n)

1-8

=

8

7

(8 n-1)（10分）
将S_n代入

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，化简得，

( 8 7 +t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n+1- 8 7

＜

1

16

（﹡）（11分）
若t=1时，

15 7 ×8n- 8 7

8n+1 7 - 8 7

＜

1

16

?8ⁿ＜

15

29

，显然不成立，
若t＞1时，（﹡）式化简为(

8

7

-t)8n＞

15

7

不可能成立，
综上，不存在正整数n，t使

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立．

点评：本题综合考查了数列，函数以及不等式，是对知识点的综合考查．解决本题的关键点在于求出f（n）的表达式．