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经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D处的切线平行,设直线与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于
2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
(1)设动圆圆心为(x,y),依题意得,
x2+(y-1)2
=|y+1|,整理,得x2=4y.
所以轨迹M的方程为x2=4y.
(2)由(1)得x2=4y,即y=
1
4
x2
,则y′=
1
2
x

设点D(x0
1
4
x02
),由导数的几何意义知,直线的斜率为kBC=
1
2
x0

由题意知点A(-x0
1
4
x02
).设点C(x1
1
4
x12
),B(x2
1
4
x22
),
kBC=
1
4
x12-
1
4
x22
x1-x2
=
x1+x2
4
=
1
2
x0
,即x1+x2=2x0
因为kAC=
1
4
x12-
1
4
x02
x1+x0
=
x1-x0
4
,kAB=
1
4
x22-
1
4
x02
x2+x0
=
x2-x0
4

由于kAC+kAB=
x1-x0
4
+
x2-x0
4
=
(x1+x2)-2x0
4
=0,即kAC=-kAB
所以∠BAD=∠CAD;
(3)由点D到AB的距离等于
2
2
|AD|,可知∠BAD=45°,
不妨设点C在AD上方,即x2<x1,直线AB的方程为:y-
1
4
x02=-(x+x0).
y-
1
4
x02=-(x+x0)
x2=4y
,解得点B的坐标为(x0-4,
1
4
(x0-4)2
),
所以|AB|=
2
|(x0-4)-(-x0)|=2
2
|x0-2|.
由(2)知∠BAD=∠CAD=45°,同理可得|AC|=2
2
|x0+2|,
所以△ABC的面积S=
1
2
×2
2
|x0-2|×2
2|
x0+2|
=4|x02-4|=20,解得x0=±3,
当x0=3时,点B的坐标为(-1,
1
4
),kBC=
3
2

直线BC的方程为y-
1
4
=
3
2
(x+1),即6x-4y+7=0;
当x0=-3时,点B的坐标为(-7,
49
4
),kBC=-
3
2

直线BC的方程为y-
49
4
=-
3
2
(x+7),即6x+4y-7=0.
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(2013•广州二模)经过点F (0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.
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2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.

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