Question

5．已知曲线f（x）=ax³+b在x=1处的切线方程是y=3x-1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求曲线过点（-1，0）的切线的方程．

Answer 1

分析 （1）求出导数，则有f′（1）=3a，再由条件得3a=3，又f（0）=1，即可得到解析式；
（2）设切点为（m，n），则由斜率公式得到3m²=$\frac{n}{m+1}$，f（m）=n，即m³+1=n．解出m，再由点斜式方程，即可得到．

解答 解：（1）因为f′（x）=3ax²
所以f′（1）=3a，又因为函数在f（x）处的切线方程是y=3x-1
所以3a=3⇒a=1，
切点坐标为（1，2），代入f（x）=x³+b，可得b=1
所以f（x）=x³+1；
（2）解：设切点为（m，n），
f′（x）=3x²，则3m²=$\frac{n}{m+1}$，
f（m）=n，即m³+1=n．
解得m=-1或$\frac{1}{2}$，
故切线的斜率为3或$\frac{3}{4}$．
所以由点斜式可得切线方程为y=3x+3或y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．属于中档题．