Question

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线与轴交于点N，直线AF与BN交于点．求证：点M恒在椭圆C上．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）略

解析:

：解法一：

（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b²=a^2－c²=3,

所以椭圆C前方程为.                    ……………………4分

(Ⅱ)由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,－n)(n≠0),=1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x－1)－(m－1)y=0，

n(x－4)+(m－4)y=0.

设M(x₀,y₀),则有  n(x₀－1)－(m－1)y₀=0, ……②

n(x₀－4)+(m－4)y₀=0, ……③

由②，③得

x₀=.                            …………………10分

由于

所以点M恒在椭圆G上.   …………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一；…… 4分

(Ⅱ)由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,－n)(n≠0),=1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x－1)－(m－1)y=0，②

n(x－4)+(m－4)y=0.   ③

由②、③得：当时，，．  ④    ……………10分

由④代入①，得=1（y≠0）.当x=时，由②，③得：

解得与≠0矛盾.所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.  …14分