分析:(1)充分利用函数与方程的思想,利用函数的单调性和最值将问题转化为方程在某区间上有解,从而得到参数a的范围.
(2)利用二次函数根的分布规律获得参数m、n的分布情况,从而得到对应的不等关系.
(3)利用导数判断单调性的知识从函数单调性入手得到A的取值范围.
解答:解:(1)由题意,得
loga=1+loga(m-1),所以解得m>2.
又loga=1+loga(n-1),所以m,n是关于x的方程loga=1+loga(x-1)在区间(2,+∞)内的两个不相等的实根,
即m,n是关于x的方程ax
2+(a-1)x+2(1-a)=0在区间(2,+∞)内的两个
不相等的实根,
即 | a>0且a≠1 | △=(a-1)2+8a(a-1)>0 | ->2 | 4a+2(a-1)+2(1-a)>0 |
| |
解得0<a<.(6分)此时,由于函数y==1-在区间[m,n](m>2)上是单调增函数,
且y>0,结合函数y=log
ax在区间(0,+∞)内是单调减函数,
知函数f(x)=loga,x∈[m,n]是单调减函数,
值域为[1+log
a(n-1),1+log
a(m-1)].
故实数a的取值范围是区间
(0,).(8分)
(2)令h(x)=ax
2+(a-1)x+2(1-a)
.由于h(2)=4a+2(a-1)+2(1-a)=4a>0,
h(4)=16a+4(a-1)+2(1-a)=18a-2<0,
所以2<m<4<n.(12分)
(3)因为函数
g(x)=1+loga(x-1)-loga=1+loga,所以,当x>2时,
g′(x)=••(2x+1)(x-2)-(x2+x-2) |
(x-2)2 |
=•,
因为lna<0,所以当x∈[m,4)时,g'(x)>0,即g(x)在区间[m,4]上是单调增函数;
当x∈(4,+∞)时,g'(x)<0,即g(x)在区间[4,n]上是单调减函数;
故A=g(4)=1+loga=1+loga9.
由0<a<,得-1<loga9<0,
所以0<A<1.(16分)
点评:本题充分考查了对数函数的单调性、对数函数的值域与最值以及导数知识的综合应用.在题中函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化的思想、数形结合的思想都得到了深入的考查.