Question

证明不等式：如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有：

1+x

)n＞1+nx．

Answer 1

分析：用数学归纳法进行证明，在证明n=k+1成立时，用到放缩法得到（1+x）^k（1+x）＞（1+kx）（1+x），是证明的关键．

解答：证明：①当n=2时，左边=（1+x）²=1+2x+x²，
∵x≠0，∴1+2x+x²＞1+2x=右边，
∴n=2时不等式成立
②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，
即（1+x）^k＞1+kx，
当n=k+1时，因为x＞-1，所以1+x＞0，
左边=（1+x）^k+1=（1+x）^k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
而右边=1+（k+1）x，
所以左边＞右边
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据①和②，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．
故

1+x

)n＞1+nx．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细 解答，注意放缩法的合理运用．