Question

已知两定点为A，B且|AB|=4，动点P到两定点的距离之比为

1

2

．
（1）适当建立直角坐标系，并求动点P的轨迹方程C
（2）若直线l的斜率k=1且与曲线C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）先依据条件建立恰当的直角坐标系，设P为（x，y），依据题中条件：“距离之比”列关于x，y的方程式，化谙即可得点P的轨迹方程．
（2）设出切线方程，利用圆心到直线的距离距离等于半径，即可求出切线方程．

解答：解：选取AB所在直线为横轴，
从A到B为正方向，以AB中点O为原点，
过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-2，0），
B为（2，0），设P为（x，y）
∵

PA

PB

=

1

2

，∴

(x+2)2+y2

(x-2)2+y2

=

1

2

．
∴4（x+2）²+4y²=（x-2）²+y²，
∴3x²+20x+3y²+20=0．
因为x²，y²两项的系数相等，且缺xy项，
所以轨迹的图形是圆．
（2）设切线l的方程为：y=x+b，
3x²+20x+3y²+20=0化为（x-

10

3

）²+y²=

40

9

的圆心（

10

3

，0），半径为

2 10

3

．
所以

| 10 3 +b|

12+(-1)2

=

2 10

3

，
解得b=-

10±4 5

3

．
所求直线方程为：y=x-

10±4 5

3

．

点评：求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．