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已知抛物线y2=8x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共焦点F,且椭圆过点D(-
2
3
).
(1)求椭圆方程;
(2)点A、B是椭圆的上下顶点,点C为右顶点,记过点A、B、C的圆为⊙M,过点D作⊙M的切线l,求直线l的方程;
(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线PQ是否经过定点,若是,求出该点坐标,若不经过,说明理由.
分析:(1)根据抛物线y2=8x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共焦点F,确定c=2,利用椭圆过点D(-
2
3
),代入椭圆方程,求出a,b,即可求椭圆方程;
(2)确定⊙M的方程,分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求得直线l的方程;
(3)设AP、AQ的方程代入椭圆方程,求得P,Q的坐标,可得直线PQ的方程,令x=0,即可得到直线PQ过定点.
解答:解:(1)抛物线y2=8x的焦点F(2,0),
∵抛物线y2=8x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共焦点F,∴c=2,
又椭圆过点D(-
2
3
),∴
2
a2
+
3
a2-4
=1
,得a2=8,b2=4
∴所求椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1

(2)由题意,A(0,2),B(0,-2),C(2
2
,0),则
设M(m,0),由|MA|=|MC|,可得m2+4=(2
2
-m)2,∴m=
2
2
,m2+4=
9
2

∴⊙M:(x-
2
2
2+y2=
9
2

直线l斜率不存在时,x=-
2

直线l斜率存在时,设为y-
3
=k(x+
2

∴d=
|
2
k
2
+
2
k+
3
|
k2+1
=
3
2
,解得k=
6
12

∴直线l为x=-
2
6
x-12y-10
3
=0;
(3)显然,两直线斜率存在,设AP:y=k′x+2
代入椭圆方程,得(1+2k′2)x2+8k′x=0,解得x=
-8k′
1+2k2
或x=0
∴点P(
-8k′
1+2k2
2-4k2
1+2k2

同理得Q(
8k′
2+k2
2k2-4
2+k2

直线PQ:y-
2-4k2
1+2k2
=
k2-1
3k′
(x-
-8k′
1+2k2
)             
令x=0,得y=
2-4k2
1+2k2
-
k2-1
3k′
-8k′
1+2k2
=-
2
3

∴直线PQ过定点(0,-
2
3
).
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线恒过定点,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=8x的准线与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
相交于A,B两点,双曲线的一条渐近线方程是y=2
2
x
,点F是抛物线的焦点,且△FAB是直角三角形,则双曲线的标准方程是(  )
A、
x2
16
-
y2
2
=1
B、x2-
y2
8
=1
C、
x2
2
-
y2
16
=1
D、
x2
8
-y2=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=8x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦点F,且椭圆过点D(-
2
3
).
(1)求椭圆方程;
(2)点A、B是椭圆的上下顶点,点C为右顶点,记过点A、B、C的圆为⊙M,过点D作⊙M的切线l,求直线l的方程;
(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线PQ是否经过定点,若是,求出该点坐标,若不经过,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•丰台区一模)已知抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离是6,则点P的坐标是
(4,±4
2
)
(4,±4
2
)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知抛物线y2=8x的准线l与双曲线C:
x2
a2
-y2=1
相切,则双曲线C的离心率e=(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线
x2
a2
-
y2
3
 
=1(a>0)
的右焦点,则双曲线的渐近线方程为
 

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