Question

（Ⅰ）解不等式：|3x-1|≤2；
（Ⅱ）设a，b，c∈R⁺，求证：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c））．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）|3x-1|≤2，等价于-2≤3x-1≤2，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由于条件利用基本不等式证得

a2+b2

≥

2

2

（a+b），同理可得+

b2+c2

≥

2

2

（b+c），

c2+a2

≥

2

2

（a+c），再利用不等式的性质证得要证的结论．

解答： 解：（Ⅰ）|3x-1|≤2，等价于-2≤3x-1≤2，等价于-1≤3x≤3，
求得-

1

3

≤x≤1，可得不等式的解集为：{x|-

1

3

≤x≤1 }．
（Ⅱ）证明：由于a，b，c∈R⁺，a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²，
即：

a2+b2

≥

2

2

（a+b）．
同理可得+

b2+c2

≥

2

2

（b+c），

c2+a2

≥

2

2

（a+c），
因此：：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c）成立．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于基础题．