Question

已知二次函数y=f（x）满足f（x+2）=f（2-x），且f（0）=3，f（5）=8，求这个二次函数的解析式，并求此函数在[2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：先根据条件求出对称轴为2，再设出解析式，根据条件列出方程组，求得即可，再根据函数的单调性求出最值．

解答： 解：∵二次函数y=f（x）满足f（x+2）=f（2-x），
∴函数的对称轴为x=2，
设二次函数的解析式为y=a（x-2）²+b，
∵f（0）=3，f（5）=8，
∴

a(0-2)2+b=3 a(5-2)2+b=8

解得

a=1 b=-1

∴y=（x-2）²-1，
∵x∈[2，4]，
∴函数在[2，4]递增，
∴当x=2是函数有最小值，最小值为-1，当x=4时有最大值，最大值为3．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键，以及有二次函数在某个区间的最值问题，属于基础题．