Question

已知函数f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-1，x∈R．
（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a，b，c成等比数列，且c=2a，求f（B-

π

12

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的性质即可得出；
（2）利用等比数列、余弦定理、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-1=2cos2x+2

3

sin2x+1=4sin(2x+

π

6

)+1，
∴函数f（x） 的最小正周期T=

2π

2

=π，
∵sin(2x+

π

6

)≤1，∴f（x）≤4+1=5，
因此函数f（x）的最大值为5，对应的自变量x的取值集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）∵在△ABC中，a，b，c成等比数列，∴b²=ac．又c=2a．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-ac

2a×2a

=

3

4

．∴sinB=

7

4

．
∴f（B-

π

12

）=4sin2B+1=8sinBcosB+1=

3 7 +2

4

．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的性质、等比数列、余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．