Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p、q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*）．
①求数列{a_n}前2015项的和；
②已知数列{a_n}是“M类数列”，求a_n．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的求和

专题：计算题,综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据M类数列的定义，尝试将a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*化为c_n+1=pc_n+q的形式即可；
（2）①由a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），将数列中的相邻两项两两和为一项，利用等比数列前n项和求和；
②由M类数列的定义出发，结合a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），推出实常数p、q，代入即可．

解答： 解：（1）∵a_n=2n，∴a_n+1=2+a_n，n∈N^*；
∴数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
∵b_n=3•2ⁿ，∴b_n+1=2b_n，n∈N^*，
∴数列{b_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（2）①∵a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂+a₃=3•2²，a₄+a₅=3•2⁴，…，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=3•2²⁰¹⁴；
故数列{a_n}前2015项的和：
S₂₀₁₅=a₁+（a₂+a_3^）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₅）
=2+3•2²+3•2⁴+…+3•2²⁰¹⁴=2+3×

22(1-41007)

1-4

=2+2²⁰¹⁶-4=2²⁰¹⁶-2．
（2）∵数列{a_n}是“M类数列”，∴存在实常数p、q，
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
则a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
∴（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
又∵a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
则有3•2ⁿ⁺¹=3•p2ⁿ+2q对于任意n∈N^*都成立，
即3•2ⁿ（2-p）=2q对于任意n∈N^*都成立，
因此2-p=0，2q=0；
此时，a_n+1=pa_n+q=2a_n，又∵a₁=2，
∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．

点评：本题考查了学生对于新定义的接受能力与应用能力，实质考查了学生的学习能力，同时考查了等差数列与等比数列的通项公式，同时考查了等比数列的前n项和公式，属于难题．