Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是AB的中点，
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）设点E在线段B₁C₁上，B₁E=λ•B₁C₁，且使直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为

10

10

，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明出BC₁∥DE，继而根据线面平行的判定定理证明出BC₁∥平面CA₁D．
（2）过C₁，E分别作C₁D₁⊥A₁B₁于点D₁，EE₁⊥A₁B₁于点E₁，连接BE，BE₁，可得：∠EBE₁即为直线BE和平面ABB₁A₁所成的角，结合直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为

10

10

，可得λ的值．

解答： 证明：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
连接AC₁交A₁C于点M，连接DM，则M是AC₁的中点，

在△ABC₁中，点D是AB的中点，所以DM∥BC₁，
又DM?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，
所以BC₁∥平面DCA₁．              
解：（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB的中点
所以CD⊥AB，又CD⊥DA₁，AB，DA₁是平面ABB₁A₁内的相交直线，
所以CD⊥平面ABB₁A₁，可知CD⊥BB₁．（7分） 
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，AB，CD?平面ABC，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中点，

过C₁，E分别作C₁D₁⊥A₁B₁于点D₁，EE₁⊥A₁B₁于点E₁，
连接BE，BE₁，
由BB₁⊥平面A₁B₁C₁，EE₁?平面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥EE₁，又由EE₁⊥A₁B₁，BB₁∩A₁B₁=B₁，BB₁，A₁B₁?平面A₁B₁BA，
∴EE₁⊥平面A₁B₁BA，
∴BE₁即为BE在平面SAB内的射影，
∴∠EBE₁即为直线BE和平面ABB₁A₁所成的角，
设AC=BC=BB₁=1，
由B₁E=λ•B₁C₁可得：B₁E=λ，
可得：EE₁=

2

2

λ，BE=

1+λ2

所以在Rt△BE₁E中，sin∠EBE1=

EE

BE

=

2 2 λ

1+λ2

=

10

10

，
解得λ=

1

2

（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判断，面面垂直的性质，二面的平面角及求法，是空间线面关系和线面夹角的综合应用，难度中档．