Question

已知复数z₁满足（z₁-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z₂的虚部为2，
（Ⅰ）若z₁•z₂是实数，求z₂；
（Ⅱ）若z_1^•z₂是纯虚数，求z₂．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念

专题：数系的扩充和复数

分析：由已知求得复数z₁，设出复数z₂，利用复数的乘法运算得到z₁•z₂．
（Ⅰ）由z₁•z₂的虚部等于0求z₂；
（Ⅱ）由z_1^•z₂的实部等于0且虚部不等于0求z₂．

解答： 解：由（z₁-2）（1+i）=1-i，得
z1=

1-i

1+i

+2=

(1-i)2

(1+i)(1-i)

+2=

-2i

2

+2=2-i．
设z₂=a+2i，则z₁•z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i．
（Ⅰ）由z₁•z₂是实数，得4-a=0，a=4，则z₂=4+2i；
（Ⅱ）由z₁•z₂是纯虚数，得2a+2=0，a=-2，则z₂=-2+2i；

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．