Question

已知圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，直线l₁过点A（3，0），且与圆C相切．
（1）求直线l₁的方程；
（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l₂与圆C有两个不同的交点M、N．且 •=12，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线l₁的方程为y=m（x-3），圆心C到直线l₁的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于m的方程，解之可得方程为4x+3y-12=0．而直线斜率不存在时也与圆C相切，由此可得直线l₁的方程；
（2）由题意得l₂的方程为y=k（x-1），与圆C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系加以计算，得到•=+8=12，解之即可得到k=1．
解答：解：（1）设直线l₁的方程为y=m（x-3），即mx-y-3m．=0        …（1分）
圆心C到直线l₁的距离d=，解得m=-，…（2分）
所以直线l₁的方程为4x+3y-12=0；
当直线斜率不存在时，直线x=3也与圆C相切，
所以直线l₁的方程为4x+3y-12=0或x=3．               …（5分）
（2）设l₂的方程为y=k（x-1），
将直线l₂的方程与圆C的方程消去y，得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则由根与系数的关系可得：
x₁+x₂=，x₁x₂=，
从而y₁y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
因此，•=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=（1+k²）•+k•+1=+8，
∴•=+8=12，整理得k（1+k）=1+k²，解之得k=1．
经检验，可得此时△＞0，所以k=1符合题意．…（14分）
点评：本题求已知圆的切线方程，并求满足向量数量积•=12的直线方程，着重考查了向量数量积公式、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．