Question

已知圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，直线l₁过点A（3，0），且与圆C相切．
（1）求直线l₁的方程；
（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l₂与圆C有两个不同的交点M、N．且 

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

（1）设直线l₁的方程为y=m（x-3），即mx-y-3m．=0        …（1分）
圆心C到直线l₁的距离d=

|2m-3-3m|

1+k2

=1，解得m=-

4

3

，…（2分）
所以直线l₁的方程为4x+3y-12=0；
当直线斜率不存在时，直线x=3也与圆C相切，
所以直线l₁的方程为4x+3y-12=0或x=3．               …（5分）
（2）设l₂的方程为y=k（x-1），
将直线l₂的方程与圆C的方程消去y，得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则由根与系数的关系可得：
x₁+x₂=

4(1+k)

1+k 2

，x₁x₂=

7

1+k 2

，
从而y₁y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
因此，

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=（1+k²）•

7

1+k 2

+k•

4(1+k)

1+k 2

+1=

4k(1+k)

1+k 2

+8，
∴

OM

•

ON

=

4k(1+k)

1+k 2

+8=12，整理得k（1+k）=1+k²，解之得k=1．
经检验，可得此时△＞0，所以k=1符合题意．…（14分）