Question

已知向量

u

=(x，y)与

v

=(y，2y-x)的对应关系用

v

=f(

u

)表示．
（Ⅰ）设

a

=(1，1)，

b

=(1，0)，求向量f(

a

)及f(

b

)的坐标；
（Ⅱ）求使f(

c

)=(p，q)，（p，q为常数）的向量

c

的坐标；
（Ⅲ）证明：对于任意向量

a

，

b

及常数m，n恒有f(m

a

+n

b

)=mf(

a

)+nf(

b

)成立．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量

u

=(x，y)与

v

=(y，2y-x)的对应关系用

v

=f(

u

)表示，我们根据

a

=(1，1)，

b

=(1，0)，易得向量f(

a

)及f(

b

)的坐标；
（II）设

c

=（x，y），根据f(

c

)=(p，q)，我们可以构造关于x，y的方程，解方程即可求出向量

c

的坐标；
（Ⅲ）设

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，分别求出f(m

a

+n

b

)和mf(

a

)+nf(

b

)的坐标，比照后即可得到结论．

解答：解：（I）由已知得f(

a

)=（1，1），f(

b

)=（0，-1）
（II）设

c

=（x，y），则f(

c

)=(y，2y-x)=(p，q)，
∴y=p，x=2p-q，即

c

=（2P-q，p）．
（III）设

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，则m

a

+n

b

=(ma1+nb1，ma2+nb2)，
故　f(m

a

+n

b

)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)=m（a₂，2a₂-a₁）+n（b₂，2b₂-b₁），
∴f(m

a

+n

b

)=mf(

a

)+nf(

b

)

点评：本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，其中正确理解新定义向量

u

=(x，y)与

v

=(y，2y-x)的对应关系用

v

=f(

u

)表示是解答本题的关键．