Question

如图，椭圆的右焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N．
（Ⅰ）求证：直线MN恒过定点T，并求出T的坐标；
（Ⅱ）求以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程，并判断定点T与轨迹的位置关系．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵F（1，0），不妨设AB的斜率存在且不为零，
设AB：y=k（x-1）
∴
∴，同理（3分）
∴MN过定点（），当AB的斜率不存在或为零时
同样MN过定点（），∴T（）． （7分）
（Ⅱ）以AB为直径的圆M的方程为：
①（9分）
同理以CD为直径的圆N的方程为：
②（11分）
①-②得公共弦直线方程为③
又MN直线方程④
由③、④消去R得两圆公共弦中点的轨迹方程为：（15分）

∴点T在圆上．
分析：（Ⅰ）设AB：y=k（x-1），由题意知，，同理，所以MN过定点（），当AB的斜率不存在或为零时同样MN过定点（），所以T（）．
（Ⅱ）以AB为直径的圆M的方程为：同理以CD为直径的圆N的方程为：
，由此可以判断定点T与轨迹的位置关系．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题．