Question

已知函数f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值；
（2）当x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常数，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0求得函数f（x）的定义域，再根据f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数，即f（-x）+f（x）=0，从而得到f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，求得f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），可得函数f（x）在其定义域（-1，1）上是减函数，从而求得函数f（x）在（-a，a]上的最小值．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0可得-1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
又f（-x）=x+log₂

1-x

1+x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数，即f（-x）+f（x）=0，
∴f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）=0．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₂）-f（x₁）=（-x₂+x₁）+log2

1-x2

1+2

-log2

1-x1

1+1

，
由题设可得 （-x₂+x₁）＜0，

1-x1

1+1

＞

1-x2

1+2

，∴log2

1-x1

1+1

＞log2

1-x2

1+2

，
∴（-x₂+x₁）+log2

1-x2

1+2

-log2

1-x1

1+1

＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）在其定义域（-1，1）上是减函数．
x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常数，
故函数f（x）在（-a，a]上是减函数，故当x=a时，函数取得最小值为-a+log2

1-a

1+a

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．