Question

3．在四棱锥中P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{2}$，PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF||平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥P-CDF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，AC∩BD=F，EF∥PA，由此能证明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）法一：取AD中点O，连接OP，OF，推导出OP⊥平面ABCD，三棱锥P-CDF的体积${V}_{P-CDF}=\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•OP$．
法二：三棱锥P-CDF的体积V_P-CDF=V_F-PCD，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，AC∩BD=F，
在△PAC中，EF∥PA．…（3分）
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．…（6分）
解：（Ⅱ）解法一：取AD中点O，连接OP，OF，
∵PA=PD，∴OP⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴OP⊥平面ABCD．…（9分）
∴三棱锥P-CDF的体积${V}_{P-CDF}=\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•OP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．…（12分）
解法二：∵侧面PAD⊥底面ABCD，
且侧面PAD∩底面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA，CD⊥PD．
又PA⊥PD，且CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，故EF⊥平面PCD，…（9分）
∵PD=$\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥P-CDF的体积：
V_P-CDF=V_F-PCD=$\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．