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已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ $数学公式$ =0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），Q是椭圆C上的点，连接PQ交椭圆C于另一点E，求直线PQ的斜率的取值范围．

解：（1）由题意可得e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即c²= $\text{[math]}$ a²
∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为与直线x-y+ $\text{[math]}$ =0相切．
∴圆心到直线x-y+ $\text{[math]}$ =0的距离d= $\text{[math]}$ =1=b
∵a²=b²+c²=1+ $\text{[math]}$
∴a=2，b=1
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$
（2）由题意可得，所求的直线的斜率k一定存在，故可设直线方程为y=k（x-4）
联立方程 $\text{[math]}$ 可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0
∴△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）由题意可得e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可得a，c的关系，然后由圆心到直线x-y+ $\text{[math]}$ =0的距离d= $\text{[math]}$ =1=b可求b，结合a²=b²+c²进而可求椭圆方程
（2）由题意可设直线方程为y=k（x-4），由方程 $\text{[math]}$ 可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，则△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0，解不等式可求
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，处理此类问题常用的方法是联立方程，结合方程的思想进行求解

练习册系列答案

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已知椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足

（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

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①求椭圆C的方程.

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已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。