【题目】已知数列{an}是无穷数列,满足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|(n=2,3,4,…).
(1)若a1=2,a2=3,求a3 , a4 , a5的值;
(2)求证:“数列{an}中存在ak(k∈N*)使得lgak=0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件;
(3)求证:在数列{an}中ak(k∈N*),使得1≤ak<2.
【答案】
(1)解:∵a1=2,a2=3,lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|(n=2,3,4,…),
∴lga3=|lg3﹣lg2|= ,即 ;
,即a4=2;
,即 ;
(2)证明:必要性、已知数列{an}中有无数多项是1,则数列{an}中存在ak(k∈N*)使得lgak=0.
∵数列{an}中有无数多项是1,∴数列{an}中存在ak(k∈N*)使得ak=1,
即数列{an}中存在ak(k∈N*)使得lgak=0.
充分性:已知数列{an}中存在ak(k∈N*)使得lgak=0,则数列{an}中有无数多项是1.
假设数列{an}中没有无数多项是1,不妨设 是数列{an}中为1的最后一项,则am+1≠1,
若am+1>1,则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|(n=2,3,4,…),可得lgam+2=lgam+1,
∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=0,则lgam+3=1,与假设矛盾;
若0<am+1<0,则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|(n=2,3,4,…),可得lgam+2=﹣lgam+1,
∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=﹣2lgam+1,
lgam+4=|lgam+3﹣lgam+2|=|﹣2lgam+1+lgam+1|=﹣lgam+1,
lgam+5=|lgam+4﹣lgam+3|=|﹣lgam+1+2lgam+1|=﹣lgam+1,
∴lgam+6=|lgam+5﹣lgam+4|=0,得lgam+6=1,与假设矛盾.
综上,假设不成立,原命题正确;
(3)证明:假设数列{an}中不存在ak(k∈N*),使得1≤ak<2,
则0<ak<1或ak≥2(k=1,2,3,…).
由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|(n=2,3,4,…),可得
(n=1,2,3,…)*,且an>0(n=1,2,3,…),
∴当n≥2时,an≥1,an≥2(n=3,4,5,…).
若a4=a3≥2,则a5=1,与a5≥2矛盾;
若a4≠a3≥2,
设bm=max{a2m+1,a2m+2}(m=1,2,3,…),则bm≥2.
由(*)可得, ,
,
∴ ,即 (m=1,2,3,…),
∴ ,
对于b1,显然存在l使得 .
∴ ,这与bm≥2矛盾.
∴假设不成立,原命题正确
【解析】(1)由a1=2,a2=3,结合lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|(n=2,3,4,…)可得a3 , a4 , a5的值;(2)分必要性和充分性证明,充分性利用反证法证明;(3)利用反证法,假设数列{an}中不存在ak(k∈N*),使得1≤ak<2,则0<ak<1或ak≥2(k=1,2,3,…).然后分类推出矛盾得答案.
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式,需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点,,在抛物线上,的重心与此抛物线的焦点重合(如图)
(I)写出该抛物线的方程和焦点的坐标;
(II)求线段中点的坐标;
(III)求弦所在直线的方程
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100),[100,110),…,[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
求分数在[120,130)内的频率,并补全这个频
率分布直方图;
统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点
值作为代表,据此估计本次考试的平均分;
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2个,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣x,若对任意x1 , x2∈[2,+∞),且x1≠x2 , 不等式 >0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知数列{an}(n∈N*)是公差不为0的等差数列,a1=1,且 , , 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{ }的前n项和为Tn , 求证:Tn<1.
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【题目】设a,b是正奇数,数列{cn}(n∈N*)定义如下:c1=a,c2=b,对任意n≥3,cn是cn﹣1+cn﹣2的最大奇约数.数列{cn}中的所有项构成集合A.
(1)若a=9,b=15,写出集合A;
(2)对k≥1,令dk=max{c2k , c2k﹣1}(max{p,q}表示p,q中的较大值),求证:dk+1≤dk;
(3)证明集合A是有限集,并写出集合A中的最小数.】
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