Question

【题目】设a，b是正奇数，数列{cn}（n∈N*）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n≥3，cn是cn﹣1+cn﹣2的最大奇约数．数列{cn}中的所有项构成集合A．
（1）若a=9，b=15，写出集合A；
（2）对k≥1，令dk=max{c2k ， c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：dk+1≤dk；
（3）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．】

Answer 1

【答案】
（1）解：数列{cn}为：9，15，3，9，3，3，3，

故集合A={9，15，3}．

（2）证明：由题设，对n≥3，cn﹣2，cn﹣1都是奇数，所以cn﹣1+cn﹣2是偶数．

从而cn﹣1+cn﹣2的最大奇约数 ，

所以cn≤max{cn﹣1，cn﹣2}，当且仅当cn﹣1=cn﹣2时等号成立．

所以，对k≥1有c2k+1≤max{c2k，c2k﹣1}=dk，

且c2k+2≤max{c2k+1，c2k}≤max{dk，dk}=dk．

所以dk+1=max{c2k+2，c2k+1}≤dk，当且仅当c2k=c2k﹣1时等号成立．

（3）由（2）知，当n≥3时，有cn≤max{cn﹣1，cn﹣2}．

所以对n≥3，有cn≤max{c1，c2}=max{a，b}．

又cn是正奇数，且不超过max{a，b}的正奇数是有限的，

所以数列{cn}中的不同项是有限的．

所以集合A是有限集．

集合A中的最小数是a，b的最大公约数

【解析】（1）利用列举法写出数列{cn}，易得集合A；（2）由题设，对n≥3，cn﹣2 ， cn﹣1都是奇数，所以cn﹣1+cn﹣2是偶数．从而cn﹣1+cn﹣2的最大奇约数 ，结合不等式的性质进行解答；（3）有限集是指元素的个数是有限个的集合，从而确定答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的表示方法-特定字母法的相关知识，掌握①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合．