Question

某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD，其中顶点B、C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在

NM

上，∠MON=

π

6

，ON=OM=1．设∠DON=θ，矩形ABCD的面积为S．
（Ⅰ）用含θ的式子表示DC、OB的长；
（Ⅱ）试将S表示为θ的函数；
（Ⅲ）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接在三角形中利用三角函数可以表示DC、OB的长；
（2）S=BC×CD，由（1）可以求出相应函数；
（3）表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，

解答：解：（1）在△ODC中DC=sinθ，在△OAB中，tan

π

6

=

AB

OB

，从而OB=

3

sinθ；
（2）在△ODC中OC=cosθ，从而S=BC×CD=cosθsinθ -

3

sin2θ（0＜θ＜

π

6

）
（3）由S/=-sin2θ+cos2θ-2

3

sinθcosθ=0得tan2θ=

3

3

，由0＜θ＜

π

6

，得θ=

π

12

，易得θ=

π

12

时，S的最大值为1-

3

2

．

点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．