Question

【题目】已知函数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）求函数的零点个数．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）故a＜0或a=e时，F（x）在y轴两侧各有1个零点，共2个零点，当a=0时，a（x+1）恒为0，F（x）有无数个零点．

【解析】

(1)对函数求导得到f′（x）=（x+1）（ex+a），分情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调性；（2）主要分析函数第一段的零点情况，令g（x）=xex﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）ex＞0，可得到函数g(x)单调增，通过讨论g（0）=﹣a和0的关系得到零点个数.

（1）f′（x）=（x+1）（ex+a），

a≥0时，x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，

x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

a＜0时，由f′（x）=0，解得：x=﹣1或x=ln（﹣a），

若a=﹣，则ln（﹣a）=﹣1，f′（x）≥0恒成立，

故f（x）在R递增，

若﹣＜a＜0，则ln（﹣a）＜﹣1，

故x∈（﹣∞，ln（﹣a））∪（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，

当x∈（ln（﹣a），﹣1）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（ln（﹣a），﹣1）递减，在（﹣∞，ln（﹣a）），（﹣1，+∞）递增；

若a＜﹣，则ln（﹣a）＞﹣1，

当x∈（﹣∞，﹣1）∪（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0，

当x∈（﹣1，ln（﹣a）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（﹣1，ln（﹣a））递减，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣a），+∞）递增，

综上，当a≥0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

当﹣＜a＜0时，f（x）在（ln（﹣a），﹣1）递减，在（﹣∞，ln（﹣a）），（﹣1，+∞）递增，

当a=﹣时，f（x）在R递增，

当a＜﹣时，f（x）在（﹣1，ln（﹣a））递减，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣a），+∞）递增；

（2）由已知得F（x）=，

令g（x）=xex﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）ex＞0，

故g（x）在（0，+∞）递增，

则g（x）＞g（0）=﹣a，

故a＜0或a=e时，F（x）在y轴两侧各有1个零点，共2个零点，

当a=0时，a（x+1）恒为0，F（x）有无数个零点．