Question

在数列{a_n}中，已知a₁=p＞0且log₂（a_n+1a_n）=2n+1．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求的p值．
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：由已知可知a_n•a_n+1=2²ⁿ⁺¹，a₁=p，代入可求a₂，a₃
（1）若数列{a_n}为等差数列，则2a₂=a₁+a₃，可求p
（2）由已知可知数列的奇数项、偶数项分别为等比数列，分类讨论求和即可

解答：解：∵log₂a_n+1•a_n=2²ⁿ⁺¹
∴a_n+1•a_n=2²ⁿ⁺¹，
∵a₁=p
∴a2=

8

p

，a3= 

32

8 p

=4p
（1）若数列{a_n}为等差数列，则2a₂=a₁+a₃
即

16

p

=p+4p，p＞0
∴p=

4 5

5

（2）a1=

4 5

5

，∴

an•an+1

anan-1

=

an+1

an-1

=22=4
S_n=

p(1-4k)

1-4

+

8 p (1-4k)

1-4

=

4k- 1

3

p+

8(4k-1)

3p

（n=2k，k∈N₊）
S_n=

4k-1

3

p+

8(4k-1-1)

3p

 （n=2k-1，k∈N₊）
Sn=

4k-1 3 p+ 8(4ki-1) 3p ，n=2k 4k-1 3 p+ 8(4k-1-1) 3p ，n=2k-1

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比数列的前n项和的求解，求和时体现了分类讨论的基本思想，这是高中数学的重要思想．