Question

如图，椭圆E：的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点坐标，从而设出椭圆E的方程，解方程组得C（1，2），D（1，-2），根据抛物线、椭圆都关于x轴对称，建立关于参数b的方程，解得b²=1并推得a²=2．最后写出椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x-2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值取值范围，再结合向量的坐标运算利用点P在椭圆上，建立k与t的关系式，利用函数的单调性求出实数t取值范围，从而解决问题
解答：解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F₂（1，0）．
所以椭圆E的方程为：．
解方程组得C（1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，，∴．
因此，，解得b²=1并推得a²=2．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
代入椭圆方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k²＜
∴x₁x₂=，x₁+x₂=，
∵，
∴，
∴（1+k²）[-4×]＜，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k²＞，
∴＜k²＜，
∵满足，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=，y=，
∵点P在椭圆上，
∴
∴16k²=t²（1+2k²）
∴t²=，由于＜k²＜，
∴-2＜t＜-或＜t＜2
∴实数t取值范围为：-2＜t＜-或＜t＜2．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．