Question

设函数．
（1）解不等式f（x）≤1
（2）求证：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数
（3）求使f（x）＞0对一切x∈R^*恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）
当a=1时，x∈[0，+∞）
当0＜a＜1时，
当a＞1时，
证明：（2）∵，
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数
解：（3）f（x）＞0即
∵∈（1，+∞）
所以 0＜a≤1
分析：（1）先通过两边平方将无理不等式转换为一元二次不等式，再解含参数的一元二次不等式，通过讨论参数a的范围得不等式f（x）≤1的解集
（2）当a≥1时，通过证明f′（x）在区间[0，+∞）上恒不大于零，即可证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数
（3）f（x）＞0对一切x∈R^*恒成立等价于对一切x∈R^*恒成立，转化为求函数y=的下确界，让a比此函数的下确界不大即可
点评：本题考察了含参数的一元二次不等式的解法，利用导数证明函数的单调性，以及利用函数解决不等式恒成立问题，解题时要有转化化归的解题思想