Question

设函数f（x）=2x³-3（a+3）x²+18ax-8a，x∈R。
（1）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（3）当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：f'（x）=6x²-6（a+3）x+18a=6（x-3）（x-a）
 （1）当a=-1时，f'（x）=6（x-3）（x+1）
令f'（x）>0，得x<-1或x>3
所以f(x)在（-∞，-1）和（3，+∞）上单调递增，
在（-1，3）上单调递减，
当x=-1时，f（x）_极大=f（-1）=18
当x=3时，f（x）_极小=f（3）=-46。
 （2）依题意：f'（x）=6[x²-（a+3）x+3a]≤0在x∈[1，2] 恒成立
因x∈[1，2]，3-x>0，
故在x∈[1，2]恒成立，
所以a≤x_min=1。
（3）显然，x=3或x=a是极值点，
依题意，当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，有：

即
∴或a>8为所求。