Question

设函数f（x）=

-2x+m

2x+n

（m、n为常数，且m∈R⁺，n∈R）．
（Ⅰ）当m=2，n=2时，证明函数f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若f（x）是奇函数，求出m、n的值，并判断此时函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）证明不是奇函数，只要证明：f（-x）≠-f（x），可得f（x）不是奇函数；
（2）利用奇函数定义f（-x）=-f（x），再用待定系数法求解；利用单调性的定义即可判断

解答：证明（I）当m=2，n=2时，f（x）=

2-2x

2+2x

，函数的定义域为R
∴f(-x)=

2-2-x

2+2-x

=

2•2x-1

2•2x+1

=

2x- 1 2

2x+ 1 2

，-f(x)=-

2-2x

2+2x

=

2x-2

2x+2

∴f（-x）≠-f（x）
则函数f（x）不是奇函数
（II）若函数f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）
∴

-2-x+m

2-x+n

=-

-2x+m

2x+n

∴

m•2x-1

n•2x+1

=

2x-m

2x+n

化简整理得（m-n）•2^2x+（m+mn-2）•2^x+（m-1）=0，这是关于x的恒等式，
∴

m-n=0 mn+m-2=0 m-1=0

∴m=1，n=1，f（x）=

1-2x

1+2x

=1-

2

1+2x

设x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

1+2x1

-1+

2

1+2x2

=

2

2x2+1

-

2

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0
∴

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）单调递增函数

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．