Question

17．若直线y=kx与曲线f（x）=$\frac{lnx}{x}$相切，求实数k的值：

Answer 1

分析 设出切点坐标P（a，$\frac{lna}{a}$），求出导函数y′，利用导数的几何意义即k=y′|_x=a，再根据切点在切线上，列出关于a和k的方程组，求解即可求得k的值．

解答 解：设切点坐标为P（a，$\frac{lna}{a}$），
∵曲线y=$\frac{lnx}{x}$，
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴k=y′|_x=a=$\frac{1-lna}{{a}^{2}}$，①
又∵切点P（a，$\frac{lna}{a}$）在切线y=kx上，
∴$\frac{lna}{a}$=ka，②
由①②，解得a=$\sqrt{e}$，k=$\frac{1}{2e}$，
∴实数k的值为$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．