Question

6．已知DA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AD=AB，AM⊥DC于M，N为BD的中点．求证：MN⊥DC．

Answer 1

分析 证明AN⊥CD，又由AM⊥DC，AN∩AM=A，可证明CD⊥平面AMN，从而可证MN⊥DC．

解答 证明：∵DA⊥平面ABC，CB?平面ABC，
∴DA⊥CB，
又∵∠ABC=90°，CB⊥AB，AB∩DA=A，
∴CB⊥平面DAB，
∵AN?平面DAB，
∴CB⊥AN，
∵AD=AB，N为BD的中点．
∴AN⊥BD，BD∩BC=B，
∴AN⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，
∴AN⊥CD，
又∵AM⊥DC，AN∩AM=A，
∴CD⊥平面AMN，
∵MN?平面AMN，
∴MN⊥DC．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．