Question

15．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t是参数），设点P（-1，2）
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲线C的极坐标方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化为直角坐标方程；把直线l的参数方程消去参数，化为普通方程．
（Ⅱ）把线l的参数方程代入圆的方程化简可得关于t的一元二次方程，再根据参数的意义和韦达定理可得．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），即ρ²=2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ，
化为直角坐标方程可得x²+y²=x-$\sqrt{3}$y，移项配方可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1，
表示以（$\frac{1}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，1为半径的圆；
消去参数t可将直线l的参数方程化为普通方程x+y-2+$\sqrt{3}$=0；
（Ⅱ）把点（-1-t，2+$\sqrt{3}$t）代入圆的方程化简可得2t²+（3+2$\sqrt{3}$）t+3+$\sqrt{3}$=0，
由韦达定理可和参数的意义可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法和参数的意义，属基础题．