Question

求函数f（x）=cos

2

3

x+sin

2

3

x的图象的相邻两条对称轴之间的距离、最大值及单调减区间．

Answer 1

分析：f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的最小正周期，即可确定出相邻两条对称轴之间的距离，利用正弦函数的值域确定出f（x）的最大值，根据正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调减区间．

解答：解：f（x）=

2

×（

2

2

cos

2

3

x+

2

2

sin

2

3

x）=

2

sin（

2

3

x+

π

4

），
∵ω=

2

3

，∴T=

2π

|ω|

=3π，
令2kπ+

π

2

≤

2

3

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得：3kπ+

3π

8

≤x≤3kπ+

15π

8

，k∈Z，
∴f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为

T

2

=

3π

2

，最大值为

2

，单调递减区间为[3kπ+

3π

8

，3kπ+

15π

8

]，k∈Z．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域与值域，正弦函数的单调性，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．