Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）且f（1）=0且存在实数m使f（m）=-a，试推理f（x）在[0，+∞）上是否为单调．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（m）=-a即知方程ax²+bx+c+a=0有实数根，所以△=b²-4a（a+c）≥0，而由f（1）=0容易得到a＞0，c＜0，a+b＞0，以及a+c=-b，所以△=b（4a+b）≥0，所以可判断出b≥0，所以f（x）的对称轴x=-

b

2a

≤0，所以便得到f（x）在[0，+∞）上单调递增．

解答： 解：∵存在实数m使f（m）=-a；
∴方程ax²+bx+c+a=0有实根；
∴△=b²-4a（a+c）≥0 ①；
∵f（1）=0；
∴a+b+c=0，又a＞b＞c；
∴a＞0，c＜0；
∴将a+c=-b带入①得：
b²+4ab=b（4a+b）≥0；
∵a+b=-c＞0，a＞0；
∴4a+b＞0；
∴b≥0；
∴-

b

2a

≤0，x=-

b

2a

是f（x）的对称轴；
∴函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

点评：考查一元二次方程有实根时判别式△的取值情况，二次函数的对称轴，及二次函数的单调性．