Question

（2011•揭阳一模）如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求三棱锥P-DEF的体积；
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明PD⊥EF，只需证明PD⊥平面PEF，利用线面垂直的判定定理可以证明；
（2）解法1：证明PE⊥PF，利用等体积转化，即可求得三棱锥P-DEF的体积；
解法2：取EF的中点M，连接PM，证明PM⊥EF，利用等体积转化，即可求得三棱锥P-DEF的体积；
（3）证明PE⊥平面PDF，可得∠PDE为DE与平面PDF所成的角，在Rt△PDE中，可以求得．

解答：（1）证明：依题意知图①折前AD⊥AE，CD⊥CF，
∴PD⊥PE，PF⊥PD，-------------------------------（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF-----------------------（3分）
又∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF--------------------------（4分）
（2）解法1：依题意知图①中AE=CF=

1

2

，∴PE=PF=

1

2

，
在△BEF中EF=

2

BE=

2

2

，----（5分）
在△PEF中，PE²+PF²=EF²，∴PE⊥PF
∴S△PEF=

1

2

•PE•PF=

1

2

•

1

2

•

1

2

=

1

8

--------------------（7分）
∴VP-DEF=VD-PEF=

1

3

S△PEF•PD=

1

3

×

1

8

×1=

1

24

．-----------（8分）
解法2：依题意知图①中AE=CF=

1

2

，∴PE=PF=

1

2

，
在△BEF中EF=

2

BE=

2

2

，----------------------------------（5分）
取EF的中点M，连接PM，则PM⊥EF，∴PM=

PE2-EM2

=

2

4

---------------（6分）
∴S△PEF=

1

2

EF•PM=

1

2

×

2

2

×

2

4

=

1

8

---------------（7分）
∴VP-DEF=VD-PEF=

1

3

S△PEF•PD=

1

3

×

1

8

×1=

1

24

．-----------------------（8分）】
（3）解：由（2）知PE⊥PF，又PE⊥PD，∴PE⊥平面PDF-------（10分）
∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角，-------------------------------------------（11分）
在Rt△PDE中，∵DE=

PD2+PE2

=

1+ 1 4

=

5

2

，PE=

1

2

-----------------------（12分）
∴sin∠PDE=

PE

DE

=

1 2

5 2

=

5

5

-----------------------------------（14分）

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用转化底面，求三棱锥的体积．