Question

抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（

5

2

，-

3

2

）且与抛物线交于A、B两点

.

AB

⊥

.

FM

，若点C位于抛物线的弧AOB（O为坐标原点）上则△ABC的面积最大值为（　　）

A． 5

B．5 10

C．10 5

D．20 5

Answer 1

∵F（1，0），M（

5

2

，-

3

2

），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

FM

=(

3

2

，-

3

2

)，

AB

=(x2-x1，y2-y1)
∵

.

AB

⊥

.

FM

∴

3

2

(x2-x1)-

3

2

(y2-y1)=0
∴

y2-y1

x2-x1

=1
∴直线AB的斜率为1，AB的方程为y=x-4代入y²=4x得x²-12x+16=0
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16
∴|AB|=

2(x1-x2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

∴|AB|=4

10

当过C点的切线与AB平行时，△ABC面积取最大值设此直线方程为
把y=x+b代入y²=4x得x²+（2b-4）x+b²=0
△=（2b-4）²-4b²=00
∴b=1
∴C（1，2）到AB距离为d=

|1-3-4|

2

=

5 2

2

∴S△ABC=

1

2

×4

10

×

5 2

2

=10

5

故选C