Question

9．如图，△AB₁C₁，△B₁B₂C₂，△B₂B₃C₃是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B₃C₃上有5个不同的点P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，设${m_i}=\overrightarrow{A{C_2}}•\overrightarrow{A{P_i}}$（i=1，2，…，5），则m₁+m₂+…+m₅=90．

Answer 1

分析 建立坐标系，求出直线B₃C₃的方程，得出P_i的坐标的关系，代入数量积公式计算即可．

解答 解：以A为原点，以AB₃所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则A（0，0），C₂（3，$\sqrt{3}$），B₃（6，0），C₃（5，$\sqrt{3}$），
∴直线B₃C₃所在直线方程为$y=-\sqrt{3}（x-6）$，即$\sqrt{3}$x+y-6$\sqrt{3}$=0，
设P_i（x_i，y_i），则$\sqrt{3}$x_i+y_i=6$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{A{C}_{2}}•\overrightarrow{A{P}_{i}}$=3x_i+$\sqrt{3}$y_i=18，
∴m₁+m₂+…+m₅=18×5=90．
故答案为90．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．