Question

已知函数f（x）=|log_a|1-x||（a＞0，a≠1），若x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=

 

．

Answer 1

分析：由题意可得，g（x）的图象关于直线x=1对称，不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，可得x₁+x₄=1，x₂+x₃+=1．再由log_ax₁=-log_ax₂，log_ax₃=-log_ax₄，求得x₁x₂=x₃x₄=1，从而求得

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=

x1+x2

x1x2

+

x3+x4

x3x4

 的值．

解答：解：设g（x）=|log_a|x||，则g（x）为偶函数，
图象关于y轴对称，
而函数f（x）=|log_a|1-x||是把g（x）的图象向右平移
一个单位得到的，
故g（x）的图象关于直线x=1对称．
∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），
不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁+x₄=1，x₂+x₃+=1．
再由函数f（x）的图象特征可得，log_ax₁=-log_ax₂，
log_ax₃=-log_ax₄，
∴x₁x₂=x₃x₄=1，
∴

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=

x1+x2

x1x2

+

x3+x4

x3x4

=1+1=2，
故答案为：2．

点评：本题考查函数零点和方程根的关系，根据函数的解析式求得函数的对称性是解题的关键，属中档题．