Question

（2010•桂林二模）已知函数f（x）=

2x-1    ，(x≤0) f(x-1)+1，(x＞0)

，把方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（　　）

• A．S_n=2ⁿ-1（n∈N₊）
• B．S_n=

  n(n-1)

  2

  （n∈N₊）
• C．S_n=n-1（n∈N₊）
• D．S_n=2^n-1（n∈N₊）

Answer 1

分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列的前n项和．

解答：解：当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
所以，函数f（x）=2^x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后①将函数f（x）=2^x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2^x-1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2^x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，1，2，3，4，…，
∴该数列的前n项和Sn=

n

2

(0+n-1)=

n(n-1)

2

，n∈N⁺．
故选B．

点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，容易出错，要细心解答．