Question

如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=4，点A（1，0），B为直线x=4上任意一点，直线AB交圆O于不同两点M，N．
（1）若MN=

14

，求点B的坐标；
（2）若

MA

=2

AN

，求直线AB的方程；
（3）设

AM

=λ

MB

，

AN

=μ

NB

，求证：λ+μ为定值．

Answer 1

分析：（1）设AB的方程y=k（x-1），利用垂径定理和点到直线的距离公式，结合题意建立关于k的等式解出k=±1，可得直线AB的方程，进而算出点B的坐标；
（2）设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），根据由

MA

=2

AN

求出用x₂、y₂表示x₁、y₁的式子，代入圆方程化简得到N点的坐标，利用直线的斜率公式算出AB的斜率，可得直线AB的方程；
（3）由

AM

=λ

MB

、

AN

=μ

NB

，利用向量的坐标运算法则算出λ=

x1-1

4-x1

、μ=

x2-1

4-x2

．由直线AB方程与圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系化简λ+μ关于x₁+x₂、x₁x₂的式子，可得λ+μ=0（定值）．

解答：解：（1）设直线AB的方程y=k（x-1），即kx-y-k=0
∵MN=

14

，∴根据垂径定理，得

14

=2

22-d2

，解之得d=

2

2

，
由点到直线的距离公式，得

|k|

k2+1

=

2

2

，解之得k=±1，
∴直线AB的方程y=±（x-1），
结合B的横坐标为4，代入直线方程求得y=±3，得点B的坐标为B（4，±3）．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

MA

=2

AN

，得

x1=3-2x2 y1=-2y2

∴代入圆的方程，得

(3-2x2)2+(-2y2)2=4 x22+y22=4

，解之得

x2= 7 4 y2=± 15 4

，
∴直线AB的斜率为kAB=

± 15 4 -0

7 4 -1

=±

15

3

，可得直线AB的方程为y=±

15

3

(x-1)．
（3）设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），
由

AM

=λ

MB

，得x₁-1=λ（4-x₁），解得λ=

x1-1

4-x1

，同理得到μ=

x2-1

4-x2

，
∴λ+μ=

5(x1+x 2)-2x1x2-8

16-4(x1+x2)

由

y=k(x-1) x2+y2=4

消去y，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0
∴

x1+x2= 2k2 1+k2 x1x2= k2-4 1+k2

，可得λ+μ=

5• 2k2 1+k2 -2• k2-4 1+k2 -8

16-4• 2k2 1+k2

=0，即λ+μ=0（定值）．

点评：本题着重考查了向量的坐标运算、直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．