Question

（理科做）如图所示已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD且PA=1．建立适当的空间坐标系，利用空间向量求解下列问题：
（1）求点P、B、D的坐标；
（2）当实数a在什么范围内取值时，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；
（3）当BC边上有且仅有一个Q点，使得时PQ⊥QD，求二面角Q-PD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先建立空间直角坐标系，因为题目中有矩形ABCD，以及和这个矩形面垂直的直线，所以x，y，z轴很容易找到，再在所建坐标系中求出点P、B、D的坐标即可．
（2）要想使得PQ⊥QD，则只需

PQ

•

DQ

=0，可先求向量

PQ

，

DQ

的坐标，再计算

PQ

•

DQ

，看结果是否为0即可．
（3）要求二面角Q-PD-A的余弦值，只需求两个平面的法向量的夹角的余弦值即可，可先分别求两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求余弦值．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∴分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
∵AP=AB=1，BC=2∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）
（2）设Q（1，y，0），则

PQ

=(1，y，-1)

DQ

=(1，y-a，0)∵PQ⊥QD∴

PQ

•

DQ

=0∴1+y（y-a）+0=0即y²-ay+1=0    （*）
∵Q在边BC上，
∴a＞0且△=a²-4≥0
∴a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）
（3）当BC边上有且仅有一个Q点，方程（*）有等根，
∴y=1，此时a=2
显然平面PAD的一个法向量为

m

=（1，0，0）
设平面PQD的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n

•

DQ

=0且

n

•

PQ

=0
由（2）知

PQ

=(1，1，-1)，

DQ

=(1，-1，0)∴

x+y-z=0 x-y=0

，
不妨取x=1，则y=1，z=2，
∴

n

=（1，1，2）
由图可知，二面角Q-PD-A为锐角，设为α
cosα=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

6

=

6

6

，即二面角Q-PD-A即的余弦值为

6

6

点评：本题考查了利用空间向量解决立体几何问题，属于空间向量的应用．