[题目]已知圆:.圆:.动圆与圆和圆均内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程,(2)过点的直线与轨迹交于.两点.过点且垂直于的直线交轨迹于两点.两点.求四边形面积的最小值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点的直线与轨迹交于，两点，过点且垂直于的直线交轨迹于两点，两点，求四边形面积的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由两圆位置关系可得，确定圆心的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆.由此可得轨迹方程；

（2）分类：当直线的斜率不存在或为0时，直接求出面积，当直线的斜率存在且不为0时，不妨设其方程为：，代入曲线的方程，整理后由韦达定理得，由弦长公式求得弦长，同理得，计算面积，利用基本不等式可得最小值．

解：（1）设点坐标为，圆的半径为.则，，

从而.

所以圆心的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆.

故动圆圆心的轨迹的方程为：.

（2）①当直线的斜率不存在或为0时，此时不妨设，，

此时.

②当直线的斜率存在且不为0时，不妨设其方程为：，，，

联立，

由，，

此时.

同理得：.

故.

当且仅当“”，即时等号成立，又.

故四边形面积的最小值为.

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（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；

（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时烧开一壶水最省煤气？

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参考数据：，