Question

12．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量$\overrightarrow{e_1}=[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，并且矩阵M将点（-1，3）变换为（0，8）．求矩阵M．

Answer 1

分析 设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．

解答 解：设$M=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，由$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=8[{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]$及$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}{-1}\\ 3\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\ 8\end{array}}]$，…（5分）
得$\left\{\begin{array}{l}a+b=8\\ c+d=8\\-a+3b=0\\-c+3d=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=6\\ b=2\\ c=4\\ d=4\end{array}\right.$，∴$M=[{\begin{array}{l}6&2\\ 4&4\end{array}}]$…（10分）

点评 本题考查特征值，考查二阶变换矩阵，考查学生的计算能力，属于中档题．