Question

2．设函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，则b的取值范围是（　　）

• A． [0，2]
• B． （0，2]
• C． （-2，2）
• D． [-2，2]

Answer 1

分析 若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x²+bx+c对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
记f（x）_max-f（x）_min=M，则M≤4．
当|-$\frac{b}{2}$|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；
当|-$\frac{b}{2}$|≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（-1）}-f（-$\frac{b}{2}$）
=$\frac{1}{2}$[f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）]|-f（-$\frac{b}{2}$）=（1+$\frac{|b|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
综上，b的取值范围为-2≤b≤2．
故选：D

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．